高中数学竞赛平面几何，平面几何500条定理

高中数学竞赛平面几何？2024年全国高中数学联赛A卷二试平面几何题的解题核心在于通过辅助线构造和几何性质转化，将共圆问题转化为三线共点问题，最终利用根轴定理或等角共轭性质完成证明。以下是具体分析：初始观察与目标转化题目要求证明四点共圆，但直接证明缺乏明显角度或比例关系。通过连接延长线段发现BP、CA、DQ三线共线，那么，高中数学竞赛平面几何？一起来了解一下吧。

2024年高中数学竞赛平面几何

证明：作点F关于直线AC的对称点点F', 易知点F'在AG上, ∠FEA=∠F'EA

∵BF //DG

∴FA/AD=BA/AG, 即FA×GA=AB×AD=AB²

∵∠GHC=∠GBC

∴G, H, B, C四点共圆

要证B, H, F, E四点共圆

需证∠BHF=∠FED

又∠BHF=∠BHC+90°=∠BGC+90°

∠FED=∠FEA+90°=∠F'EA+90°

所以需证∠F'EA=∠BGC, 即E, F', G, C四点共圆

而AE×AC=AB²=FA×GA=F'A×GA

得证.

数学竞赛平面几何100题

如图所示：令圆心为坐标圆点半径为2【这个是为了计算出E、B、F、H的坐标，然后根据BFH的坐标求出一个圆的方程，如可以就出就可以证明三点BFH共圆，再把E的坐标带入同一个方程，如符合关系式，则四点EBFH四点共圆】所以E(o,o)B(根号2，根号2）F（-根号2,3根号2）【F的坐标可先求出y轴与BF的交点P，在根据P,B两点求出所在直线，从而得出F的y值。具体见下：B(根号2，根号2）P（0,2根号2）根据两点公式求直线方程：（x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)得直线方程：根号2x+根号2y=4再把F的x值=-根号2（F的x值与A的x的值一样为-根号2）得F的y值3根号2.】再求出H的坐标【根据三角形HPE为等腰直角三角形】H（-2根号2,2根号2）

设EBFH的圆的方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0把点BFH三点的坐标带入方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

求得D=根号2E=-3根号2F=0所以EBHF的圆的方程为x^2+y^2+根号2x-3根号2y=0

再把点E（0,0）的方程带入满足圆的方程。所以EBFH四点共圆！

高中数学竞赛几何定理大纲

平面几何推荐书目：（可选择阅读，标粗为重点书目）

（1）《平面几何证明方法全书》沈文选

（2）《平面几何的解题规律》周沛耕刘建业

（3）《数学奥林匹克小丛书·高中卷7·平面几何》范端喜、邓博文

（4）《数学奥林匹克小丛书·高中卷9·几何不等式》冷岗松

（5）《高中数学竞赛专题讲座·平面几何》虞金龙、马洪炎

（6）《高中数学竞赛课程讲座·几何问题》中等数学编辑部

（7）《高中数学竞赛解题策略·几何分册》沈文选、杨清桃

（8）《高中数学竞赛专题讲座·平面几何解题思想与策略》过伯祥

（9）《命题人讲座·圆》田廷彦

（10）《数林外传系列·平面几何100题》单墫

（11）《几何变换》（老版小丛书）萧振纲

（12）《几何变换与几何证题》萧振纲

（13）《三角与几何》（老版小丛书）田廷彦

（14）《几何新方法与新体系》张景中

（15）《面积关系帮你解题》张景中、彭翕成

（16）Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen（陈谊廷）

（17）《近代欧式几何学》R·A·约翰逊

（18）《数学奥赛辅导丛书（第二辑）·几何不等式》单墫

（19）《面积与面积方法》（小丛书老版初中卷）田廷彦

（20）《数林外传系列·反射与反演》严镇军

2024高中数学竞赛试题

(1)延长BP，交AC于S

由梅涅劳斯定理，CPQ截△ARS，有AQ/QR*RP/PS*SC/CA=1

从而AQ/QR=(PS*AC)/(PR*CS)=(PS*AC)/(PC*CS)

又△PSC∽△CSB 所以PS/CS=PC/CB 即PS*BC=PC*CS

因此AQ/QR=(PS*AC)/(PS*BC)=AC/BC为定值

(2)作角C的平分线交AB于T，连TQ

由角平分线定理AT/TB=AC/CB=AQ/QR

因此TQ平行于BR，因此角ATQ=角ABR=角PCB，

所以T、Q、B、C四点共圆，所以角BQC=角BTC为定值

平面几何中学数学竞赛题

高中数学竞赛中涉及的重要大学知识点主要包括平面几何、代数与不等式、数论、组合数学等领域的进阶定理与工具。

平面几何是竞赛的核心板块，其进阶定理常与大学解析几何或射影几何思想相关。梅涅劳斯定理通过共线三点分割线段的比例关系，构建三角形内点与边的关联，是证明共线性的关键工具；西姆松定理则揭示了三角形外接圆上一点到三边垂足共线的条件，体现了射影几何中极线与极点的对应关系。此外，几何变换（如相似变换、反演变换）和复数方法（将几何问题转化为复数运算）的引入，进一步拓展了平面几何的解题维度，这些方法在大学数学分析中也有广泛应用。

代数部分的核心是柯西不等式及其推广形式，它通过向量内积或二次型理论，为证明不等式、求最值问题提供了统一框架。例如，柯西不等式在处理分式不等式、数列求和等问题时，能简化计算并揭示隐藏的对称性。此外，递归数列的通项公式求解常涉及特征方程法，这与大学线性代数中矩阵特征值的计算密切相关。

数论部分的知识点直接对应大学初等数论内容。

以上就是高中数学竞赛平面几何的全部内容，高中数学竞赛中涉及的重要大学知识点主要包括平面几何、代数与不等式、数论、组合数学等领域的进阶定理与工具。平面几何领域平面几何是竞赛的核心板块，其进阶定理常与大学解析几何或射影几何思想相关。梅涅劳斯定理通过共线三点分割线段的比例关系，构建三角形内点与边的关联，内容来源于互联网，信息真伪需自行辨别。如有侵权请联系删除。