高中奥数平面几何？《平面几何证明方法全书》沈文选 实际上高中联赛题不会有不熟悉的定理，平时你补奥赛时学的那些就够了，老师提供的奥数书上讲的那些方法、定理就够了，要记住，联赛考的是思维能力，不是背公式，背定理。我也是过来人，那么，高中奥数平面几何？一起来了解一下吧。
2021-10-31-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P095 例9）
如图,已知圆中,为直径,过点作一条直线.在直线上截取(,均在圆外).连结,.分别交圆于点,.过,分别作圆切线.交于一点,连结.求证:垂直于.
证明
过作平行线交圆于,过做圆切线交直线于,则在的极线即过的切线上,还在的极线上,所以的极线过、,又,故、、、成调和点列,所以、、、成调和线束,于是是调和四边形.
从而是切线,即在的极线上,那么的极线过点,结合垂直于,即垂直于.
2021-10-31-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P095 例10）
给定个圆、、、,设和、和、和、和分别交于点和、和、和、和.若、、、四点共圆(或共线),证明:、、、四点共圆(或共线).
证明
作以为反演中心的反演变换,于是,、反形为直线、,、反形为、的外接圆,这两个圆交于.
如图只要证、、、四点共圆即可.
这就转化为三角形中的密克点问题:
中、、分别在边、、上,若的外接圆与的外接圆交于点,则的外接圆也过该点.
2021-10-31-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P095 例11）
如图,凸四边形有内切圆,且内切圆分别切边、、、于、、、,点、、、分别为线段、、、的中点,证明:四边形为矩形的充要条件是、、、共圆.
证明
以内切圆为反演圆作反演变换,则由反演定理4,、、、的反点分别为、、、,因为不过反演中心的圆的反形仍是一个圆,于是、、、共圆等价于、、、共圆.
注意、、、分别是为四边形四边形的中点,所以四边形是一个平行四边形,因而、、、四点共圆的充要条件是平行四边形是矩形,这又等价于、、、共圆.
2021-10-31-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P096 例12）
圆内接四边形内有一点满足.在、、上射影为、、.证明:.
证明
证法一 :因为,故只需证.
又，
故只需证(1)
又因,所以的外接圆与外接圆外切于点.
作以为反演中心,对外接圆的幂为反演幂作反演变换则、、、分别变为、、、,且是与外接圆的交点,、、类似.
因为、外接圆外切于.
故用反演性质知为等腰梯形.
由反演变换距离公式知
,(为反演幂).
所以(1),此式已证明成立,故原题得.
证法二 :作,其中为上的点,交于.
由知,.
易知为、外接圆的切线.
由根轴定理知、、交于一点,设为.
由已知条件易知、、、和、、、都有四点共圆.
,,故
所以
2021-10-31-05
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P097 例13）
双心四边形,,内、外心为、.求证:、、三点共线.
证明
先证一个引理.
引理:圆外切四边形,切点为、、、,则、、、四线共点.
引理的证明:如图,设,,由正弦定理得
同理.
所以,即.
所以故、、三线共点.
同理、、三线共点,引理得证.
回到原题:如图,切点仍记为、、、,由引理.
以为中心,为反演圆作反演,、、、分别为四边中点.
由,知为平行四边形.
而、、、共圆知、、、共圆,必为矩形,其中心设为,且有.
由反演性质知、、三点共线.
设、中点为、,则
由垂径定理知为矩形.
从而.
故,即、、三点共线,从而、、三点共线.
2021-11-15-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 平面几何中的其他方法和问题选讲 P118 习题05）
设点是圆外一点,过点作圆的切线,切点分别为、.圆的切线与、分别交于点、,过点且平行于的直线与交于点.求证:无论如何变化,恒过一定点.
证明
以为原点,所在直线为轴建立右手直角坐标系,且不妨设半径为.
,，.
取与轴交点,则,.
设直线:,.
所以.
同理.
则.(1)
在(1)中令,所以
.
下证:、、三点共线.
(2)
由于,.
(2)式显然成立成立.
所以、、三点共线.
又为定点,所以、均为定点.
所以为定点.
因此恒过定点,得证.
2021-11-15-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 平面几何中的其他方法和问题选讲 P118 习题06）
、为平面上的两个定点,为平面上位于直线同侧的一个动点,以、各为边,在外作正方形、.证明:无论点取在直线同侧的任何位置,的中点M位置不变.
证明
设图中各字母表示相应点的复数,由题设,应有
,
,
从而与无关.
2021-11-15-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 平面几何中的其他方法和问题选讲 P118 习题07）
求证:任意凸四边形各边中点连线的中点必重合.
证明
如图是任意四边形,,,,是各边的中点.
因为,,,.
故的中点为.
的中点为.
由此知.
这就是要证得结果.
2021-11-15-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 平面几何中的其他方法和问题选讲 P118 习题08）
在凸四边形的外部分别作正三角形,正三角形,正三角形,正三角形,记四边形的对角线之和为,四边形的对边中点连线之和为,求的最大值.(2008第七届女子数学奥林匹克)
解
若四边形是正方形时,可得.
下面证明:.
设、、、分别是边、、、的中点,、、、的中点分别为、、、.
则是平行四边形.
连结,,设点,分别是,的中点,则
,
,
又
所以,
从而,是正三角形.
同理可得,也是正三角形.
设、分别是、的中点,于是有
同理可得,
把上面两式相加,得,
即.
.可以先把五棱面的面积算出来，五棱面可以分成，一个直角梯形和一个长方形，长方形：2*4=8，梯形：（4+2）*2/2=6,五棱面积：8+6=14，长就是4,体积就是14*4=56，看懂了吗？望采纳！
高中数学联赛二试四大模块学习方法及高分策略
高中数学联赛二试是备考的重中之重，主要考察平面几何、代数、组合和数论四大模块知识。以下是对这四个模块的学习方法和高分策略的详细解析：
1. 平面几何
积累与总结：学好几何的关键在于积累。建议准备一个几何笔记本，疯狂做题，并将做题中见到的结构抽象出来进行简单总结。日积月累，你的几何水平便会逐渐提高。
掌握三角法和复数法：三角法在几何解题中尤为重要，当几何水平到达一定程度后，要积极探索与应用三角法。同时，复数法也是解决某些几何问题的有力工具。
推荐书目与题目：入门书目推荐《高中数学竞赛解题策略几何分册》，知识点比较全面。入门题目可以刷网上的《高联难度平面几何100题》。之后，可以通过外出培训以及刷赛题来进一步提升。
2. 代数
培养解题思想：代数需要逐渐培养调整思想、变元思想等，这些对于解题很有帮助。同时，也需要掌握一些基本的恒等变形、放缩技巧。
张角定理
设顺次分别是平面内一点所引三条射线上的点,线段对点的张角分别为,且,则三点共线的充要
条件是:.
证明
如图,三点共线
.
推论
在定理的条件下，且,即平分,则三点共线的充要条件是:.
注
若规定角的绕向,逆时针方向为正,否则为负,则上述定理、推论中的点可表示在的延长线上的情形．
上述定理把平面几何和三角函数紧密相连,它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式.用它去解几何题,适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式、几何知识,可以大大简化解题步骤,众多的几何问题可以简捷地解决.
以上就是高中奥数平面几何的全部内容，掌握三角法和复数法：三角法在几何解题中尤为重要，当几何水平到达一定程度后，要积极探索与应用三角法。同时，复数法也是解决某些几何问题的有力工具。推荐书目与题目：入门书目推荐《高中数学竞赛解题策略几何分册》，知识点比较全面。入门题目可以刷网上的《高联难度平面几何100题》。之后，内容来源于互联网，信息真伪需自行辨别。如有侵权请联系删除。
