全国高中生数学竞赛试题？2011年全国高中数学联赛江西省预赛 试 题 一、填空题（每小题10分，共 分）、 是这样的一个四位数，它的各位数字之和为 ；像这样各位数字之和为 的四位数总共有 个．、设数列 满足: ,且对于其中任三个连续项 ,都有: .则通项 ．、以抛物线 上的一点 为直角顶点，那么，全国高中生数学竞赛试题？一起来了解一下吧。
综述：首先求出总人数3150/63=50人，假设男生与女生人数一样多，那么女生的平均分数就是3150-25*60）/25=66分。
竞赛数学是一门学科的延伸。数学竞赛是一项活动的举行。 竞赛数学是奥数的标准书面用语，奥数是奥林匹克数学的简称，泛指数学难题，奥林匹克数学是个奥林匹克运动得名，科学标准的说法应该叫竞赛数学。
考试范围：
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。二试在知识方面有所拓展，增加如下知识点的考察。
参考资料来源：百度百科 - 数学竞赛
对任意n≥3，在平面上是否存在n点的集合，使任意两点之间距离为无理数，而任意三点组成的三角形非退化且面积为有理数。
解：设解出一、二、三题的学生的集合分别为A、B、C，并用三个圆表示之，则重叠部分表示同时解出两题或三题的学生的集合，其人数分别以a，b，c，d，e，f，g表示．
由于每个学生至少解出一题，故a+b+c+d+e+f+g=25①
由于没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍，
故b+f=2（c+f）②
由于只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的学生的人数多1，故a=d+e+g+1③
由于只解出一题的学生中，有一半没有解出第一题，故a=b+c④
由②得：b=2c+f，f=b-2c⑤
以⑤代入①消去f得a+2b-c+d+e+g=25⑥
以③、④分别代入⑥得：2b-c+2d+2e+2g=24⑦
3b+d+e+g=25⑧
以2×⑧-⑦得：4b+c=26⑨
∵c≥0，∴4b≤26，b≤61/2．⑩
利用⑤⑨消去c，得f=b-2（26-4b）=9b-52
∵f≥0，∴9b≥52，b≥52/9.⑾
由⑩⑾得 52/9≤b≤61/2 即5又7/9≤b≤6又1/2，
∵b∈Z（b是学生人数，为整数），
∴b=6．即只解出第二题的学生有6人．
一、（本题满分50分）
如题一图，给定凸四边形 ， ， 是平面上的动点，令 ．
（Ⅰ）求证：当 达到最小值时， 四点共圆；
（Ⅱ）设 是 外接圆 的 上一点，满足： ， ， ，又 是 的切线， ，求 的最小值．
[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点 ，有
．
因此
．
因为上面不等式当且仅当 顺次共圆时取等号，因此当且仅当 在 的外接圆且在 上时，
． …10分
又因 ，此不等式当且仅当 共线且 在 上时取等号．因此当且仅当 为 的外接圆与 的交点时， 取最小值 ．
故当 达最小值时， 四点共圆． …20分
（Ⅱ）记 ，则 ，由正弦定理有 ，从而 ，即 ，所以
，
整理得 ， …30分
解得 或 （舍去），
故 ， ．
由已知 = ,有 ，即 ，整理得 ，故 ，可得 ， …40分
从而 ， ， 为等腰直角三角形．因 ，则 ．
又 也是等腰直角三角形，故 ， ， ．
故 ． …50分
[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接 交 的外接圆 于 点（因为 在 外，故 在 上）．
过 分别作 的垂线，两两相交得 ，易知 在 内，从而在 内，记 之三内角分别为 ，则 ，又因 ， ，得 ，同理有 ， ，
所以 ∽ ． …10分
设 ， ， ，
则对平面上任意点 ，有
，
从而 ．
由 点的任意性，知 点是使 达最小值的点．
由点 在 上，故 四点共圆． …20分
（Ⅱ）由（Ⅰ）， 的最小值
，
记 ，则 ，由正弦定理有 ，从而 ，即 ，所以
，
整理得 ， …30分
解得 或 （舍去），
故 ， ．
由已知 = ,有 ，即 ，整理得 ，故 ，可得 ， …40分
所以 ， 为等腰直角三角形， ， ，因为 ， 点在 上， ，所以 为矩形， ，故 ，所以 ． …50分
[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用 等代表 所对应的复数．
由三角形不等式，对于复数 ，有
，
当且仅当 与 （复向量）同向时取等号．
有 ，
所以
（1）
，
从而
． （2） …10分
（1）式取等号的条件是
复数 与
同向，故存在实数 ，使得
，
，
所以 ，
向量 旋转到 所成的角等于 旋转到 所成的角，
从而 四点共圆．
（2）式取等号的条件显然为 共线且 在 上．
故当 达最小值时 点在 之外接圆上， 四点共圆． …20分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．
以下同解法一．
二、（本题满分50分）
设 是周期函数， 和1是 的周期且 ．证明：
（Ⅰ）若 为有理数，则存在素数 ，使 是 的周期；
（Ⅱ）若 为无理数，则存在各项均为无理数的数列 满足 ，且每个 都是 的周期．
[证] （Ⅰ）若 是有理数，则存在正整数 使得 且 ，从而存在整数 ，使得
．
于是
是 的周期． …10分
又因 ，从而 ．设 是 的素因子，则 ， ，从而
是 的周期． …20分
（Ⅱ）若 是无理数，令
，
则 ，且 是无理数，令
，
……
，
……． …30分
由数学归纳法易知 均为无理数且 ．又 ，故 ，即 ．因此 是递减数列． …40分
最后证：每个 是 的周期．事实上，因1和 是 的周期，故 亦是 的周期．假设 是 的周期，则 也是 的周期．由数学归纳法，已证得 均是 的周期． …50分
三、（本题满分50分）
设 ， ．证明：当且仅当 时，存在数列 满足以下条件：
（ⅰ） ， ；
（ⅱ） 存在；
（ⅲ） ， ．
[证] 必要性：假设存在 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化为
， ，
其中 ．
将上式从第1项加到第 项，并注意到 得
． …10分
由（ⅱ）可设 ，将上式取极限得
，
因此 ． …20分
充分性：假设 ．定义多项式函数如下：
， ，
则 在[0,1]上是递增函数，且
， ．
因此方程 在[0,1]内有唯一的根 ，且 ，即 ． …30分
下取数列 为 ， ，则明显地 满足题设条件（ⅰ），且
．
因 ，故 ，因此 ，即 的极限存在，满足（ⅱ）． …40分
最后验证 满足（ⅲ），因 ，即 ，从而
．
综上，存在数列 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分
2010年浙江省高中数学竞赛试卷
说明：
本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的22题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1．化简三角有理式 的值为（）
A． 1B．C．D．1+
2．若 ，则 是 的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．集合P={ }，则集合 为（）
A． B．
C．D．
4．设 , 为两个相互垂直的单位向量。已知 = ， = ， =r +k .若△PQR为等边三角形，则k，r的取值为 （）
A． B．
C． D．
5．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB= BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是（）
A．60° B．75°C．90° D．105°
6．设 ， 分别为等差数列与等比数列，且 ，则以下结论正确的是（ ）
A． B．C．D．
7．若 的二项式展开式中系数最大的项为（）
A．第8项 B．第9项
C．第8项和第9项D．第11项
8．设 ， ，则下述关系式正确的是（）
A． B．
C． D．
9．下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（）
A． B．C． D．
10．设有算法如下：
如果输入A=144, B=39,则输出的结果是 （）
A．144B．3 C． 0 D．12
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
11．满足方程 所有实数解为 。
以上就是全国高中生数学竞赛试题的全部内容，2007年全国高中数学联合竞赛加试试题及参考答案 (考试时间：120分钟满分150分)一、(本题满分50分)如图，在锐角△ABC中，AB
