全国数学竞赛高中试题？不同赛区初赛试题：如吉林赛区、广西赛区、四川赛区、河南赛区、天津赛区、福建赛区、山东赛区等。高二年级部分试题：针对高二年级学生的全国高中数学联赛试题。特定区域及性别数学竞赛试题：中国东南地区：中国东南地区高中数学竞赛试题。中国西部：中国西部高中数学竞赛试题。那么，全国数学竞赛高中试题？一起来了解一下吧。
A. B. C. D.
2. 空间四点A、B、C、D，满足 、 、 、 ，则 的取值
A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 1. 使关于x的不等式 有解的实数k的最大值是
D. 有无穷多个
3. △ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则 的值是
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 如图，ABCD－A'B'C'D'为正方体，任作平面α与对角线AC'垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则
A. S是定值，l不是定值 B. S不是定值，l是定值 C. S、l均是定值 D. S、l均不是定值
5. 方程 表示的曲线是
A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线
C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线
6. 记集合 ， ，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是
A. B. C. D.
二、填空题
7. 将多项式 表示为关于y的多项式 ，且 ，则 =__________。
8. f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若 成立，则实数a的取值范围是_____________。
设：只解出第一道题的人数是x1，不止解出第一题的学生人数是x2；
未解出第一道题的学生中，只解出第2题的人数是y，只解出第3题的人数是w，解出2、3题的人数是r；
x1=1+x2
25-（x1+x2）=y+w+r
y+r=2（w+r）
x1=y+w
整理后
26=9w+4r
由于w、r必须是整数，所以得出w=2，r+2，y=6，x1=8，x2=7
解出第二题的人数是y+r=8人
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一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．函数 在 上的最小值是 （ C ）
A．0 B．1C．2 D．3
[解] 当 时， ，因此
，当且仅当 时上式取等号．而此方程有解 ，因此 在 上的最小值为2．
2．设 ， ，若 ，则实数 的取值范围为 （ D ）
A． B． C．D．
[解] 因 有两个实根
， ，
故 等价于 且 ，即
且 ，
解之得 ．
3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 为（ B ）
A. B. C.D.
[解法一] 依题意知， 的所有可能值为2，4，6.
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有
，
，
，
故 ．
[解法二] 依题意知， 的所有可能值为2，4，6.
令 表示甲在第 局比赛中获胜，则 表示乙在第 局比赛中获胜．
由独立性与互不相容性得
，
，
，
故 ．
4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为（ A ）
A. 764 cm3或586 cm3B. 764 cm3
C. 586 cm3或564 cm3D. 586 cm3
[解] 设这三个正方体的棱长分别为 ，则有 ， ，不妨设 ，从而 ， ．故 ． 只能取9，8，7，6．
若 ，则 ，易知 ， ，得一组解 ．
若 ，则 ， ．但 ， ，从而 或5．若 ，则 无解，若 ，则 无解．此时无解．
若 ，则 ，有唯一解 ， ．
若 ，则 ，此时 ， ．故 ，但 ，故 ，此时 无解．
综上，共有两组解 或
体积为 cm3或 cm3．
5．方程组 的有理数解 的个数为（ B ）
A.1 B.2 C.3 D.4
[解] 若 ，则 解得 或
若 ，则由 得 ． ①
由 得 ． ②
将②代入 得 ． ③
由①得 ，代入③化简得 .
易知 无有理数根，故 ，由①得 ，由②得 ，与 矛盾，故该方程组共有两组有理数解 或
6．设 的内角 所对的边 成等比数列，则 的取值范围是
（ C ）
A. B.
C.D.
[解] 设 的公比为 ，则 ，而
．
因此，只需求 的取值范围．
因 成等比数列，最大边只能是 或 ，因此 要构成三角形的三边，必需且只需 且 ．即有不等式组
即
解得
从而 ，因此所求的取值范围是 ．
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．设 ，其中 为实数， ， ， ，若 ，则 5 .
[解] 由题意知
，
由 得 ， ，因此 ， ， ．
8．设 的最小值为 ，则．
[解]
，
(1)时， 当 时取最小值 ；
(2)时， 当 时取最小值1；
(3)时， 当 时取最小值 ．
又 或 时， 的最小值不能为 ，
故 ，解得 ， (舍去)．
9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222种．
[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用 表示名额．如
表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．
若把每个“ ”与每个“ ”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于 个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．
“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“ ”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有 种．
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．
综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．
[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为 ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程
．
的正整数解的个数，即方程 的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：
．
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．
综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．
10．设数列 的前 项和 满足： ， ，则通项 = ．
[解]，
即2
= ，
由此得 2 ．
令 ，( )，
有 ，故 ，所以 ．
11．设 是定义在 上的函数，若，且对任意 ，满足
， ，则 = ．
[解法一] 由题设条件知
，
因此有 ，故
．
[解法二] 令 ，则
，
，
即 ，
故 ，
得 是周期为2的周期函数，
所以 ．
12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ．
[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为 ，作平面 //平面 ，与小球相切于点 ，则小球球心 为正四面体 的中心， ，垂足 为 的中心．
因
，
故 ，从而 ．
记此时小球与面 的切点为 ，连接 ，则
．
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 )相切时的情况，易知小球在面 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为 ，如答12图2．记正四面体
的棱长为 ，过 作 于 ．
因 ，有 ，故小三角形的边长 ．
小球与面 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）
．
又 ， ，所以
．
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 ．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．已知函数 的图像与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为 ，求证：
．
[证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示，且在 内相切，其切点为 ， ．
…5分
由于 ， ，所以 ，即 ． …10分
因此
…15分
． …20分
14．解不等式
．
[解法一] 由 ，且 在 上为增函数，故原不等式等价于
．
即．…5分
分组分解
，
， …10分
所以，
． …15分
所以 ，即 或 ．
故原不等式解集为 ．…20分
[解法二] 由 ，且 在 上为增函数，故原不等式等价于
．…5分
即
，
，…10分
令 ，则不等式为
，
显然 在 上为增函数，由此上面不等式等价于
， …15分
即 ，解得( 舍去)，
故原不等式解集为 ．…20分
15．如题15图， 是抛物线 上的动点，点 在 轴上，圆 内切于 ，求 面积的最小值．
[解] 设 ，不妨设 ．
直线 的方程: ，
化简得．
又圆心 到 的距离为1，
， …5分
故 ，
易知 ，上式化简得 ，
同理有 ． …10分
所以 ， ，则
．
因 是抛物线上的点，有 ，则
， ． …15分
所以
．
当 时，上式取等号，此时 ．
因此 的最小值为8．
2015年高中数学竞赛 复赛试题及答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请
把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）
1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是
A．5/6 B．2/3 C．1/2 D．1/3
8．随机抽查某中学高二年级100名学生的视力情况，发现学生的视力全部介于4.3至5.2.现将这些数据分成9组，得其频率分布直方图如下.又知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生有▲人。
以上就是全国数学竞赛高中试题的全部内容，：只解出第一道题的人数是x1，不止解出第一题的学生人数是x2；未解出第一道题的学生中，只解出第2题的人数是y，只解出第3题的人数是w，解出2、3题的人数是r；x1=1+x2 25-（x1+x2）=y+w+r y+r=2（w+r）x1=y+w 整理后 26=9w+4r 由于w、r必须是整数，所以得出w=2，内容来源于互联网，信息真伪需自行辨别。如有侵权请联系删除。
