数学高中竞赛初赛试题？一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数 在 上的最小值是 （ C ）A．0 B．1 C．2 D．3 [解] 当 时， ，因此 ，当且仅当 时上式取等号．而此方程有解 ，因此 在 上的最小值为2．2．设 ， ，若 ，那么，数学高中竞赛初赛试题？一起来了解一下吧。
首先我们知道K不得以2和4.然后用因式分解得[(k-2)x+k+2][(k-4)x+(k-2)]=0，得到x=-(k+2)/(k-2)=-1-4/(k-2)或x=-(k-2)/(k-4)=-1-2/(k-4)，要是方程两个根都是整数，则4必须被(k-2)整除并且2能被(k-4)整除，解出所有可以的K
正确答案是：延长BP、DP分别与圆相交与B'和D'，因为P是AC中点，且∠BPA=∠DPA
，根据圆的对称性可知，DB'与BD'均平行于AC。于是，∠APD=∠BCD。加上∠PAD=∠CBD，就有ΔAPD∽ΔBCD于是，AD/AP=BD/BC。因为P、Q分别是AC、BD的中点，所以就有AD/AC=BQ/BC加上，∠CAD=∠CBQ，就有ΔCAD∽ΔCBQ于是就有，∠ADC=∠BQC，从而∠CQD=∠CBA同理，∠AQD=∠ABC于是：∠AQB=∠CQB，命题得证。
我先给你一份最近初赛的的试题吧，难度因人而异，你自己看吧。函数，数列，三角是关键。
2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．设集合 ，则E的真子集的个数为15．
2．已知函数 的最大值为 ，则实数5 ．
3．若 ，则使函数 为奇函数的 的个数为3．
4．在△ 中，已知 的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1， ，则△ 的面积为 ．
5．数列 满足： ，且 ．记 的前 项和为 ，则89 ．
6．已知 ， ，过 作直线 的垂线，垂足为 ．若 ， ， ，则 -2．
7．已知实数 满足 ， ，则 的最小值为12．
8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为26．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知二次函数 的图象经过点 ，且不等式
对一切实数 都成立．
（1）求函数 的解析式；
（2）若对一切 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
解（1）由题设知， ． ①
令 ，解得 ，由题意可得 ，即 ，所以 ，即 ． ②
由①、②可得 ．……………………4分
又 恒成立，即 恒成立，所以 ，且 ，即 ，所以 ，从而 ．
因此函数 的解析式为 ．……………………8分
（2）由 得 ，
整理得．
当 即 时， ，此不等式对一切 都成立的充要条件是 ，此不等式组无解．
当 即 时， ，矛盾． ……………………12分
当 即 时， ，此不等式对一切 都成立的充要条件是 ，解得 ．
综合可知，实数 的取值范围是 ． ……………………16分
10．已知数列 中， ，且
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证：对一切 ，有 ．
解 （1）由已知，对 有，
两边同除以n，得，
即 ， ……………………5分
于是， ，
即，
所以， ．
又 时也成立，故 ． ……………………10分
（2）当 ，有
，………………15分
所以 时，有
又 时，
故对一切 ，有 ．……………………20分
11．设 ，求使 为完全平方数的整数 的值．
解．
所以，当 时， 是完全平方数． ……………………5分
下证没有其它整数 满足要求．
（1）当 时，有 ，
又 ，所以 ，
从而 ．
又 ，所以此时 不是完全平方数．……………………10分
（2）当 时，有 ．令 ，
则 ，即 ，
所以，
即 ．
解此不等式，得 的整数值为 ，但它们对应的 均不是完全平方数．
综上所述，使 为完全平方数的整数 的值为10. ……………………20分
对任意n≥3，在平面上是否存在n点的集合，使任意两点之间距离为无理数，而任意三点组成的三角形非退化且面积为有理数。
1. 递推公式：a(n+1)=a(n)+3b(n)，b(n+1)=a(n)+b(n)。设a(n)/b(n)=k，则a(n+1)/b(n+1)=(k+3)/(k+1)，直接列式：k=(k+3)/(k+1)，得k=√3，计算机已经验证过，结果无误。证明设p(n)=a(n)/b(n)，则p(n+1)=(p(n)+3)/(p(n)+1)，用不动点法求出(p(n)+√3)/(p(n)-√3)为绝对值递增等比数列即可。
2. q=1/2，分子是14d²，设q=a/b，则说明14b²/(a²+ab+b²)为整数，因为b²和(a²+ab+b²)互质，所以(a²+ab+b²)是14的约数，凑一凑就可以了。
3. 把log2(n)提出来，原式=(n+2)log2(1+2/n)-2(n+1)log2(1+1/n)
=1/ln(2)*((n+2)*(2/n)-2(n+1)(1/n))=0，最后一步是泰勒展开，计算机已经验证过了，结果无误。
4. 归纳法证a(n)<=(n+1)/2，因为a(n)²/n²接近1/4，a(n)逐项增加其实远不到1/2。
5. (1)直接数学归纳法，利用f(x)=x+1/x的增减区间，证明很容易，√(2n+2)-√2n=2/(√(2n+2)+√2n)<2/(2√2n)=1/√2n。
以上就是数学高中竞赛初赛试题的全部内容，加上∠PAD=∠CBD，就有ΔAPD∽ΔBCD于是，AD/AP=BD/BC。因为P、Q分别是AC、BD的中点，所以就有AD/AC=BQ/BC加上，∠CAD=∠CBQ，就有ΔCAD∽ΔCBQ于是就有，∠ADC=∠BQC，从而∠CQD=∠CBA同理，∠AQD=∠ABC于是：∠AQB=∠CQB，命题得证。
