高中数学竞赛数列题？（1）这种递推式，通常都是取n和n+1对应的递推式，然后找关系的，如图①②，然后经过递减抵消多余的项，推出结论，如图 注意这个式子只在n>=2成立，原因是④式在n=1时无意义 （2）有了④式和a1 a2之间的关系，证明比较简单，如图 （3）题目有点不严谨，应该是n>=2才成立，那么，高中数学竞赛数列题？一起来了解一下吧。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、给定公比为 的等比数列 ，设 ， ，…， ，…，则数列
（A）是等差数列； （B）是公比为 的等比数列；
（C）是公比为 的等比数列； （D）既非等差数列又非等比数列。
[答]（C）
2、平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式
的整点 的个数是
（A）16； （B）17； （C）18； （D）25。
[答]（A）
3、若 ，则
（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。
[答]（B）
4、给定下列两个关于异面直线的命题：
命题I：若平面α上的直线 与平面β上的直线 为异面直线，直线 是α与β的交线，那么 至多与 ， 中的一条相交；
命题II：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么
（A）命题I正确，命题II不正确；（B）命题II正确，命题I不正确；
（C）两个命题都正确； （D）两个命题都不正确。
[答]（D）
5、在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后退出，这样，全部比赛只进行了50场，那么在上述3名选手之间比赛的场数是
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。
1. 递推公式：a(n+1)=a(n)+3b(n)，b(n+1)=a(n)+b(n)。设a(n)/b(n)=k，则a(n+1)/b(n+1)=(k+3)/(k+1)，直接列式：k=(k+3)/(k+1)，得k=√3，计算机已经验证过，结果无误。证明设p(n)=a(n)/b(n)，则p(n+1)=(p(n)+3)/(p(n)+1)，用不动点法求出(p(n)+√3)/(p(n)-√3)为绝对值递增等比数列即可。
2. q=1/2，分子是14d²，设q=a/b，则说明14b²/(a²+ab+b²)为整数，因为b²和(a²+ab+b²)互质，所以(a²+ab+b²)是14的约数，凑一凑就可以了。
3. 把log2(n)提出来，原式=(n+2)log2(1+2/n)-2(n+1)log2(1+1/n)
=1/ln(2)*((n+2)*(2/n)-2(n+1)(1/n))=0，最后一步是泰勒展开，计算机已经验证过了，结果无误。
4. 归纳法证a(n)<=(n+1)/2，因为a(n)²/n²接近1/4，a(n)逐项增加其实远不到1/2。
5. (1)直接数学归纳法，利用f(x)=x+1/x的增减区间，证明很容易，√(2n+2)-√2n=2/(√(2n+2)+√2n)<2/(2√2n)=1/√2n。
第1，2，3，5题正确
第4题中q可以取+2和-2，你漏了-2的情况
第6题算错了，S3=2(1+q+q^2)=26，解出来q=3或-4，剩下的an就自己带入解下即可
第7题因为an是等比数列，所以a1a3=(a2)^2，带入a1a2a3=8得出a2=2，又已知a1+a2+a3=-3，所以2/q+2+2q=-3，解得q=-1/2或-2，这样a4自然就求出来了，自己求下，我就不算了
第8题a5a9=(a7)^2，带入数据得到a9=9
第9题a5-a1=a1(q^4-1)=15，a4-a2=a1(q^3-q)=6，将两式相除，就消去了a1，得到(q^2+1)/q=5/2，这样便可以解出q，再带入上面任何一式，便可求出a1，自然a3=a1*(q^2)，自己求下，我不求了
第10题看不懂你的答案，我的解答是q^5=a9/a4=243，得到q=3，所以an=4*[3^(n-4)]
第11题做法和第10题一样，先求公比q，自己算下，我不再算了，如果实在不会再问我吧
这题目太混乱了，怎么一下等差、一下等比啊，我都搞不清哪道等差、哪道等比了
第12题既然给了线性递推，为什么还说是等差数列?如果只给了递推关系式那一个条件就用特征方程解，看你前面的题目做的情况你应该还没上高中吧?特征方程是数学竞赛里的一种方法，可以解一切线性递推方程，你如果有兴趣可以研究，这里不讲了，太累了
第13题显然前12项为正的，第13项为0，后面都是负的，用常识也知道和最大的是S13啊
饿，第14题是什么数列啊，就这样的条件我一下子想不出怎么做
不写了，我快累死了，这些问题都是非常基本的数列问题，估计你还没学这些内容，所以可能做起来难点;我是今年高三的毕业生，反正数列给你的建议就是:背熟和等差、等比以及求和有关的20多个公式，再掌握基本的几种方法，以及特征根求通项的方法，那么应付高考绰绰有余了
如果上面的题目还是实在有不清楚的的话，我QQ是873650215
当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了。
令x=(ax+b)/(cx+d) ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0 。令此方程的两个根为x1，x2，若x1=x2 ，则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p ，其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=2c/(a+d)若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=(a-cx1)/(a-cx2)简单地说就是在递推中令an=x 代入 a(n+1)也等于x ，然后构造数列.（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）例子：已知a(1)=m. a(n+1)=〔a*a(n)+b〕/〔c*a(n)+d〕 求an的通项a(n)和a(n+1)分别表示数列的第n项和第n+1项解：这种形式的递推式我有两种解法,待定系数法和不动点法,在此用不动点法解决此问题.将原递推式中的a[n]与a[n+1]都用x代替得到方程x=(ax+b)/(cx+d) 即cx²+(d-a)x-b=0记方程的根为x1,x2(为了简单起见,假设方程有两实根)原方程可以变形为-x(a-cx)=b-dx 所以-x=(b-dx)/(a-cx),将x1,x2代入得到 ：x1=(b-dx1)/(a-cx1) ，x2=(b-dx2)/(a-cx2)
将递推式两边同时减去x1得到a[n-1]-x1=[(a-cx1)a[n]+b-dx1]/(ca[n]+d)
即a[n-1]-x1=(a-cx1)[a[n]+(b-dx1)/(a-cx1)]/(ca[n]+d)
将-x1=(b-dx1)/(a-cx1)代入得到: a[n-1]-x1=(a-cx1)(a[n]-x1)/(ca[n]+d)同理:a[n-1]-x2=(a-cx2)(a[n]-x2)/(ca[n]+d)两式相除得到(a[n+1]-x1)/(a[n+1]-x2)=[(a-cx1)/(a-cx2)]*[(a[n]-x1)/(a[n]-x2)]从而{(a[n]-x1)/(a[n]-x2)}是等比数列(a[n]-x1)/(a[n]-x2)=[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)所以a[n]={x2*[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-x1}/([(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-1}
拓展资料：
不动点法
设含有n个未知数与n个方程的非线性方程组为F(x)=0，然后把方程组改为便于迭代的等价形式x=ψ(x)，由此就可以构造出不动点迭代法的迭代公式为xk+1=ψ(xk)，如果得到的序列{xk}满足lim(k→∞)xk=x*，则x*就是ψ的不动点，这样就可以求出非线性方程组的解。
高中知识就是熟能生巧，你看得多了，积累的多了，看到这样的题型脑子就会出现积累的各种方法。这个在数学中体现最明显，其中数列，圆锥曲线最具有代表性。前期的学习和后段时间的复习就是为了锻炼这种思维能力，和积累解题的思路，记住并理解，才是不变应万变，希望可以对你的学习有所帮助 。本人高考数学132，重庆09年。
以上就是高中数学竞赛数列题的全部内容，n)-√3)为绝对值递增等比数列即可。2. q=1/2，分子是14d²，设q=a/b，则说明14b²/(a²+ab+b²)为整数，因为b²和(a²+ab+b²)互质，所以(a²+ab+b²)是14的约数，凑一凑就可以了。3. 把log2(n)提出来。
