高中数学奥林匹克竞赛试题？玩过奥数或者其他数学竞赛的朋友大概都会听过"传奇的第6题"。这条题目出自1988年国际数学奥林匹克竞赛（IMO）的第6题，是公认的史上最精彩、也是最困难的其中一道竞赛题目。题目如下：设正整数a, b满足ab+1可以整除a2+b2，证明 (a2+b2)/(ab+1) 是某个整数的平方。例如代入a = 1，b = 1，那么，高中数学奥林匹克竞赛试题？一起来了解一下吧。
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立体几何数列数形结合思想 直线和圆的方程 建模概论“设而不求”的未知数题几个重要不等式,柯西不等式等差数列与等比数列指数函数、对数函数函数的最大值和最小值题平面三角 平面几何四个重要定理几何变换高中数学竞赛大纲一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。 二试1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动：反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。
(1)首先由不等式定理x^3+y^3+z^3>=3xyz,(x、y、z∈R+)知：a、b、c∈R+，且a+b+c=3推出：
abc<=1 ----------(*1)
(2)然后（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc，这其中有：
2ab+2ac+2bc>=6(abc)^(2/3)-------(*2)
而由(*1)知：(abc)^(2/3)>=abc-----(*3)
从而由(*2)、(*3)知：
（a+b+c）^2>=(a^2+b^2+c^2)+6abc ------(*4)
(3)观察(*4)左边为9，右边>=2*(a^2+b^2+c^2)^(1/2) * (6abc)^(1/2)
左右两边平方得：81>=24abc（a^2+b^2+c^2)
从而84>81>=24abc（a^2+b^2+c^2)得：
abc（a^2+b^2+c^2)≤3
PS:写的有点凌乱，但是思路应该挺清晰的：）
1.存在
证明：因为方程px^2+qx+p=0,且方程有有理数解
所以q^2-4p^2为平方数
设q^2-4p^2=k^2
q^2-k^2=4p^2
(q-k)(q+k)=4p^2
因为p,q为质数，且k>0
所以q+k>q-k,p^2>=4
可得出一下几组解
(1)q-k=1,q+k=4p^2
相加得：2q=(1+4p^2)
q=(4p^2+1)/2
因为4p^2为偶数
所以4p^2+1为奇数
所以q不是整数
所以不成立
(2)q-k=2,q+k=2p^2
所以q=p^2+1
因为质数除2以外都是奇数
所以当质数p>2
所以p^2为奇数
所以p^2+1为偶数且大于2，即q为大于2得偶数，那么与q为素数不符
所以有且只有p=2时
q=2^2+1=5
所以有一组解:p=2,q=5
到这里就可以说“存在”
不过可以继续全部验证：
(3)q-k=4,q+k=p^2
所以q=(p^2+4)/2
因为当素数p>2，所以p为奇素数，所以p^2为奇数
所以奇数+偶数=奇数
奇数/2不为整数
所以当p>2，不成立
所以p=2
同样q=5
(4)q-k=p,q+k=4p
所以q=5/2p
所以如果q为整数
所以p为2的倍数
所以p=2
q=5
一共就这么几种情况，得出相同的结论，有且只有一组(p,q)
为p=2,q=5
其实步骤中(3)(4)可以不写出来
因为(2)已经得出结论了~~不过为了让你更明白，所以费点劲打出来了~~
希望你能明白~~
x^2+y^2=208(x-y) x,y为正整数
解：x^2+y^2=208x-208y
x^2-208x+y^2+208y=0
x^2-208x+104^2+y^2+208y+104^2=104^2*2
(x-104)^2+(y+104)^2=104^2*2
因为x,y为正整数
所以y+104>104
y+104>=105
并且（y+104)^2<=104^2*2
所以y+104<√104^2*2
即105<=y+104<=147
因为(x-104)与(y+104)同为整数
且104^2*2=21632
个位数为2
所以(x-104)^2与(y+104)^2的个位数字同为1或6
所以当同为1时，y+104=111,121,131,141
经验证x-104不为整数
所以个位数同为6
即y+104=106,116,126,136,146
经验证当y+104=136,即y=136-104=32时,(x-104)为整数
即(x-140)^2+136^2=104^2*2
(x-104)^2=56^2
x-104=±56
x1=160,x2=48
所以原方程解为
{x=160,y=32
{x=48,y=32
以上就是高中数学奥林匹克竞赛试题的全部内容，看大纲吧 比较详细 我给你找来了高中数学竞赛大纲（修订稿）在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。内容来源于互联网，信息真伪需自行辨别。如有侵权请联系删除。
