高中数学数列不动点法？当n很大时，an其实很接近a(n+1) ，二者近似相等了，即an=a(n+1)，于是（an，a(n+1)）构成不动点。于是原始转化为x=Ax+B，解得x=B/(1-A),于是又x-B/(1-A)=A(x-B/(1-A)),即a(n+1)-B/(1-A)=A(an-B/(1-A)),于是数列an就是以A为公比的，是首项a1-B/(1-A)的数列，于是就可以求出通项公式了。楼主，那么，高中数学数列不动点法？一起来了解一下吧。
当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了。
令x=(ax+b)/(cx+d) ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0 。令此方程的两个根为x1，x2，若x1=x2 ，则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p ，其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=2c/(a+d)若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
扩展资料：
设含有n个未知数与n个方程的非线性方程组为F(x)=0，然后把方程组改为便于迭代的等价形式x=ψ(x)，由此就可以构造出不动点迭代法的迭代公式为xk+1=ψ(xk)，如果得到的序列{xk}满足lim(k→∞)xk=x*，则x*就是ψ的不动点，这样就可以求出非线性方程组的解。
当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。（相关网站推荐：中国知网）
推导过程： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
令x=(ax+b)/(cx+d) ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0 。
令此方程的两个根为x1，x2，
若x1=x2 ，
则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p ，
其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
扩展资料：
常见类型
累加法
递推公式为
，且f(n)可以求和
例：数列{an}，满足a1=1/2，an+1= an+ 1/(4n2-1)，求{an}通项公式
解：an+1= an+ 1/(4n2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
∴an= a1+（1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1)）
∴an= 1/2+1/2 (1-1/(2n-1) )=
累乘法
递推公式为
且f(n)可求积
例：数列{an}满足
，且a1=4，求an
解：
an= 2n(n+1)
参考资料来源：百度百科--不动点法
参考资料来源：百度百科--数列通项公式
本文专为高中数学学生准备，旨在清晰解释数列的不动点法。数列与函数间的关系犹如台湾与中国的关系，不可分割。函数原理中，给定的数x经过映射后变为f(x)，这就像照镜子看到自己的后背，形象地称为“不动点”，意味着函数映射后结果与原数相同。
构造函数f(x)时，通过分解和提取公因式，可以发现不动点的性质，进一步帮助我们识别数列类型。例如，若存在不动点x，则数列为等比数列；若无不动点，则数列为等差数列。
数列求通项公式时，遇到特定结构如an = f(an-1)的类型，可以考虑使用不动点法。以类型1为例，即an = c*an-1 + d，通过寻找不动点，能判断数列的性质。若存在不动点，数列为等比数列；若不存在，则为等差数列。
在具体问题中，令an = c*an-1 + d，求解不动点，得到等比数列的通项公式an = ar^n + b。对于类型2的分式结构问题，通过变形后求解不动点，能确定数列的等比性质。若不动点存在一个或两个，则数列为等比或等差数列，具体情况需要根据题设条件来判断。
以上解释中，通过举例说明，直观展示了如何应用不动点法解决高中数学中的数列问题。这一方法既简洁又高效，是解决数列求通项问题的重要技巧之一。
二次数列递推公式不动点法是一种求解数列通项的方法，它的基本思想是：如果一个数列的第n项可以表示成另一个数列的第m项的函数，那么这个数列就有不动点。不动点是指一个数列中的某个元素，满足以下条件：对于任意的正整数n，有an=an-1[a(n-1)+b]。其中a(n-1)+b是一个常数。
使用二次数列递推公式不动点法解决问题的步骤如下：
1.构造一个递推公式；
2.找到递推公式的不动点；
3.根据不动点求出数列的通项公式。
这个真要解释清楚需要用到大学数学中线性代数和组合数学的知识，很麻烦，高中阶段你只要会用并能证明其正确性即可……
证明如下：
特徵方程法：
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
其特征方程为x^2-p*x-q=0
i.若其有两个不相等的根（称作特征根）α、β
则an=A*α^n+B*β^n
其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.
ii.若其有两个相等的根α
则an=(A*n+B)*α^n
其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.
最终可得：
当{an}有两个不等的特征根为根α,β时
由
a(n+2)-α*a(n+1)=β^(n-1)*(a2-α*a1)
a(n+2)-β*a(n+1)=α^(n-1)*(a2-β*a1)
得
an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)-((a2-β*a1)/(α-β))*β^(n-1)
或由
A*α+B*β=a1
A*α^2+B*β^2=a2
可得
A=(a2-β*a1)/(α^2-α*β)
B=(a2-β*a1)/(β^2-α*β)
得
an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)+((a2-β*a1)/(β-α))*β^(n-1)
当特征根为重根α时
由
an-α*a(n-1)=α^(n-2)*(a2-α*a1)
α*a(n-1)-α^2*a(n-2)=α^(n-2)*(a2-α*a1)
α^(n-2)*a2-α^(n-1)*a1=α^(n-2)*(a2-α*a1)
an-α^(n-1)*a1=(n-1)*α^(n-2)*(a2-α*a1)
得
an=((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)
或由
(A+B)*α=a1
(2*A+B)*α^2=a2
可得
A=(a2-a1*α)/(α^2)
A=(2*a1*α-a2)/(α^2)
得
((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)
由于
α+β=A
α*β=-B
由韦达定理，可构造一元二次方程
x^2-p*x-q=0
此即为二阶常系数齐次线性递推数列
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
的特徵方程
特殊的，当二阶常系数齐次线性递推数列
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
的特徵根为重根α=1时
即p=2，q=-1
a(n+2)=2*a(n+1)-an
此时，二阶常系数齐次线性递推数列
a(n+2)=2*a(n+1)-an
为等差数列
不动点法：
递推式：
a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)
（n∈N*，A,B,C,D为常数，C不为0，AD-BC不为0，a1与a2不等）
其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D)
特征方程的根称为该数列的不动点
这类递推式可转化为等差数列或等比数列
1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有两个不等的根α、β，则有：
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k*((an-α)/(an-β))
其中k=(A-α*C)/(A-β*C)
x=(A*x+B)/(C*x+D)
C*x^2+(D-A)*x-B=0
α不等于β
(D-A)^2+4*B*C不等于0
C*α^2+(D-A)*α-B=0
C*α^2-A*α=B-α*D
a(n+1)-α=(A*an+B-C*α*an-α*D)/(C*an+D)=(A*an-C*α*an+C*α^2-A*α)/(C*an+D)=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)
a(n+1)-β=(A*an+B-C*β*an-β*D)/(C*an+D)=(A*an-C*β*an+C*β^2-A*β)/(C*an+D)=(A-C*β)*(an-β)/(C*an+D)
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-α*C)/(A-β*C)*((an-α)/(an-β))
由
(an-α)/(an-β)=((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1)*((a1-α)/(a1-β))
得
an=(β*(((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-1)
=(β*(a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-α*(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))/((a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))
2）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有重根α，则有
1/(a(n+1)-α)=1/(an-α)+k
其中k=(2*C)/(A+D)
x=(A*x+B)/(C*x+D)
C*x^2+(D-A)*x-B=0
C*α^2+(D-A)*α-B=0
α=(A-D)/(2*C)
a(n+1)-α=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)
1/(a(n+1)-α)=((C*an+D)/(A-C*α))*(1/(an-α))
=1/(an-α)+(C*an+D-A+((A-D)/(2*C))*C)/((A-(A-D)/(2*C)*C)*(an-(A-D)/(2*C)))=1/(an-α)+(C*an+C*(D-A)/(2*C))/(((A+D)/2)*(an+(D-A)/(2*C)))
=1/(an-α)+(2*C)/(A+D)
由
1/(an-α)=(2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α)
an=1/((2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α))+α
以上就是高中数学数列不动点法的全部内容，递推式：a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)（n∈N*，A,B,C,D为常数，C不为0，AD-BC不为0，a1与a2不等）其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D)特征方程的根称为该数列的不动点 这类递推式可转化为等差数列或等比数列 1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有两个不等的根α、β，内容来源于互联网，信息真伪需自行辨别。如有侵权请联系删除。
