高中不等式公式选讲？要证的不等式|f（a）-f（b）|＜|a-b|，等价于 1+a2+1+b2-2(1+a2)(1+b2)＜a2+b2-2ab，等价于 1+ab＜(1+a2)(1+b2)．当1+ab＜0时，那么，高中不等式公式选讲？一起来了解一下吧。
(1)a+b+c＝1,则依基本不等式得
2(ab+bc+ca)+3(a²b²c²)^(1/3)
＝(a+b+c)²-(a²+b²+c²)+3(a²b²c²)^(1/3)
≤1²-3(a²b²c²)^(1/3)+3(a²b²c²)^(1/3)
＝1.
故原不等式得证.
(2)依柯西不等式得
(1²+1²+1²)(a²+b²+c²)≥(1·a+1·b+1·c)²
↔a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3＝1/3.
故原不等式得证。
零点分段，发现是a和1，其中a不知道，所以要讨论a＜1，a=1，a＞1三种情况：
①a<1时，可以分为x∈（-∞，a），（a，1），（1，+∞）三个区间按常规步骤分开写，计算即可
②a=1时，将a替换为1，变成只含一个绝对值的不等式，计算即可
③a>1时，与①差不多
值得一提的是，当分情况写时，每一小点还要注意将a前提条件与你算出的结果取交集
最后将答案取并集
柯西不等式可以简单地记做：平方和的积
≥
积的和的平方。它是对两列数不等式。取等号的条件是两列数对应成比例。
如：两列数
0，1
和
2，3
有
(0^2
+
1^2)
*
(2^2
+
3^2)
=
26
≥
(0*2
+
1*3)^2
=
9.
形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数，这个辅助函数是二次函数，于是用二次函数取值条件就得到cauchy不等式。
还有一种形式比较麻烦的，但确实很容易想到的证法，就是完全把cauchy不等式右边-左边的式子展开，化成一组平方和的形式。
我这里只给出前一种证法。
cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,
bi，则有
(∑ai^2)
*
(∑bi^2)
≥
(∑ai
*
bi)^2.
我们令
f(x)
=
∑(ai
+
x
*
bi)^2
=
(∑bi^2)
*
x^2
+
2
*
(∑ai
*
bi)
*
x
+
(∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x)
≥
0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有
δ
=
4
*
(∑ai
*
bi)^2
-
4
*
(∑ai^2)
*
(∑bi^2)
≤
0.
于是移项得到结论。
学了更多的数学以后就知道，这个不等式可以推广到一般的内积空间中，那时证明的书写会更简洁一些。我们现在的证明只是其中的一个特例罢了。
其实，高中只要记住二维的就够了。
分别找这两个含绝对值的式子的零点比较，这两个零点之间的大小关系进行分类，也就是把a和E大小分三类尽管分别去取绝对的符号，当然也可以考虑左侧这个式子的集合，E是到两个点的距离之和。
1.a+b+c=1
平方,a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1>=3(a^2 b^2 c^2)^(1/3)+2(ab+bc+ca)
2.
a+b+c=1,
平方,a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1,
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)>=0
ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2
代入上面，
1<=3(a^2+b^2+c^2),
a^2+b^2+c^2>=1/3
以上就是高中不等式公式选讲的全部内容，形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数，这个辅助函数是二次函数，于是用二次函数取值条件就得到cauchy不等式。还有一种形式比较麻烦的，但确实很容易想到的证法，就是完全把cauchy不等式右边-左边的式子展开。
